课程基本信息

学科

数学

年级

高一

学期

秋季

课题

第二章  一元二次不函数、方程和不等式 章末复习课

教科书

书  名：高中数学必修第一册

出版社：人民教育出版社（A版）               出版日期：2019年6月

教学目标

1. 会用不等式的基本性质，基本不等式比较大小、解决常见的最值问题。

2.  利用二次函数、方程和不等式的关系解决一元二次不等式的有关问题，从而进一步体会用函数观点统一方程和不等式的数学思想。

教学内容

教学重点：

1.　利用基本不等式求最值解题时应对照已知和所求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件。

2. 体会二次函数、一元二次不等式关系的整体性.体会一元二次不等式恒成立问题与二次函数图象的结合问题，重点培养数形结合能力。

教学难点：

1. 用不等式的性质和基本不等式证明一些简单命题（包括用分析法证明基本不等式）。

2. 用二次函数的观点看一元二次方程、不等式，需要借助二次函数图象，数形结合地理解二次函数与一元二次方程、不等式的联系。

教学过程

（一）不等关系与不等式

问题1：生活中蕴含很多不等关系的实际例子，我们是如何定义不等式的？

定义：用来表示不等关系的式子叫不等式。

问题2： 利用不等式(组)刻画不等关系时应注意哪些问题？

(1)          需不需要设出变量；

(2)          问题中的不等关系有哪些；

(3)          是否需要这些不等关系同时成立。

【例1】：在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，用不等式表示矩形花园的面积。

设计意图：学生通过发现一些生活中不等关系的例子，并用不等式进行表达，经历了从实际问题中抽象不等关系，即从问题中抽象出数学概念、数学知识的过程，提升数学抽象素养.

问题3：你能说说用两个实数大小关系的基本事实解决问题时的基本思路吗？

师生活动：将两个式（实数）作差，比较差值与0的大小关系，从而得出结论.

追问：作差与0比较，此方法有何优点？

师生活动：教师引导学生体会，0是正数与负数的分界点，比较差值与0的大小关系，是比较两个实数的大小的基本思路.

【例2】：

A．     B．     C．或     D．        

设计意图：体会作差法是比较两个实数大小的基本方法.

（二）基本不等式

问题4：在类比等式的基本性质研究不等式的基本性质时，你认为应特别注意哪些问题？

师生活动：等式和不等式的基本性质的本质属性就集中反映在“自身的特性”和“对于运算的不变性”这两个方面，要特别注意“运算中的不变性”. 由于不等号具有方向性，注意在“自反性”和两边同乘负数时，不等号要变号.  

【例3】　

【跟踪训练】

A.   B．   C．  D．

设计意图：通过练习让学生熟练运用不等式的性质进行不等式的判断，应注意同乘数的正负。

问题:5：你能说出基本不等式常见的两种变形形式吗？它的代数特征和几何特征是什么？

追问：在利用基本不等式解决最值时，应特别注意哪些问题？

师生活动：学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨析的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正、二定、三相等）在解决最值问题中的作用。

    （   ）

A．最小值6     B．最小值8     C．最大值4        D．最大值3

【跟踪训练】

师生活动：教师引导学生回顾运用基本不等式的三个限制条件“一正二定三相等”，指导学生学会配凑、转化基本不等式的形式，避免忽视三个条件而出现的错误。，

设计意图：拓宽学生的解题思路，让学生熟练掌握转化、化归的数学思想在解题中的应用。

（三）二次函数与一元二次方程、不等式

问题6：用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法，其中函数的图象、零点、图象与 轴的关系是关键要素. 你能以函数观点看一元二次方程、一元二次不等式为例，谈谈体会吗？

师生活动：学生在教师的引导下谈体会：

　　1. 从函数的观点来看一元二次方程，当二次函数值为0时就得到一个一元二次方程，解方程就是求“自变量为何值时，函数值为0”.

3.从函数的观点看一元二次不等式，当二次函数值大于0（或者小于0）就得到一个一元二次不等式，不等式的解集就是使得函数值大于0（或者小于0）的自变量x的取值范围.因此，可以利用二次函数的图象来判断一元二次方程根的存在性和根的个数，以及求解一元二次不等式.

【学以致用】在【例1】中求出矩形的边长应满足的条件

【例5】　解关于x的不等式：

【跟踪训练】

设计意图：让学生能熟悉解一元二次不等式的步骤，会逆向思维由解集写一元二次方程的根，会用解不等式的思想方论含参的的一元二次不等式以及不等式的恒成立问题。

师：通过今天这一节的学习，同学们可以把不等式这一章的内容形成知识框图吗？

（教师课件展示知识框图）

知识构建

（四）归纳总结

请谈一谈本章的主要思想方法有哪些，能否举例说明体现在哪些地方？

1.数形结合的思想方法：

基本不等式的几何解释；二次函数图象与二次方程的根，二次不等式解集的关系。

2.函数函数与方程的思想方法：

利用函数、方程、不等式的关系，解一元二次不等式，处理一元二次不等式恒成立等。

3.化归与转化的思想方法：

比较大小转化为判定差的符号；运用基本不等式进对式子的转化；

4.特殊与一般的思想方法：

 (1)应用基本不等式的一般结论求特殊实例中的最值；

(2)由特殊的二次函数、二次方程与二次不等式间的关系推广为一般的二次函数、二次方程与二次不等式间的关系.

5.分类与整合的思想方法：

解含参一元二次不等式；恒成立问题中不等式类型的讨论。

（五）迁移巩固

见作业设计